МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
Національний університет “Львівська політехніка”
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА
З КУРСУ “ПРИКЛАДНИЙ АНАЛІЗ ДАНИХ"
Завдання
Дати характеристику стаціонарних випадкових процесів.
Для наведених у таблиці 1 значень пар вимірювань хn, уn провести згладжуючий апроксимуючнй поліном Р(х)=а +bх + сх2:
№
вар.
Вихідні дані
10
N
1
2
3
4
5
6
хn
1
2
3.5
4.1
6
yn
0,5
1.3
2.1
3.2
4.1
Знайти звичайний сплайн для шести пар (N=6) величин, якщо кроки на осі х дорівнюють hn=xn+1-xn=1, а хn і yn задані таблицею 2:
№
вар.
Вихідні дані
10
n
1
2
3
4
5
6
хn
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
yn
2
1
2
1
3
4
Визначити апроксимуючу періодичну функцію представлену у вигляді ряду Фур'є, яка буде проводитись через пари величин tn, yn, якщо кількість вибірок рівна n з інтервалом дискретизації Ta=2π/nω0, а масив вибірок функції вибирається згідно варіанту з таблиці 3 і рівний:
№
вар.
Вихідні дані
10
n
1
2
3
4
5
6
yn
0.5
1
2
3
4
4.5
Обчислити амплітудний спектр періодичного сигналу (ω = 2π/Ta) якщо відомі:
- період дискретизації Та = 0.1 с (для № вар.15-30 Та = 0.4 с);
- частота дискретизації ƒa = 10 Гц; (для № вар.15-30 ƒa = 2.5 Гц)
- сумарний час спостереження NTa = 1с ; (для № вар.15-30 NTa= 4с);
- кількість вибірок N = 10,
а послідовність вибірок сигналу складається з таких значень:
№ вар.
Вихідні дані
10
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
nTa
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ƒ(nTa)
0
-5
-8
-2
3
2
6
-0.8
-0.2
0.1
Визначити параметри і записати рівняння цифрового фільтра з граничною частотою fg у вигляді нерекурсивного фільтра порядку N. Частота дискретизації рівна fa .
№ вар.
Тип ЦФ
Порядок
N
fg (Гц)
fa (Гц)
10
Реж. фільтр
4
30
600
Розв’язання.
1.Характеристика стаціонарних випадкових процесів.
Строга математична модель безперервного випадкового процесу припускає, що він протікає у часі від мінус нескінченності до плюс нескінченності, тобто t ∈(-∞, ∞). А ту його частину x*(t), яку вдалося у якийсь спосіб зафіксувати, називають реалізацією випадкового процесу x(t).
Для будь-якої реалізації x*(t) безперервного випадкового процесу x(t) характерним є те, що вона містить у собі нескінченну кількість щільно розміщених поряд у часі значень x(t) на будь-якому скінченному відрізку часу [tn,tк], обмеженому моментами початку tn та кінця tк реєстрації, тобто для em>x*(t) справедливим є те, що t∈[tn,tк].
Зрозуміло, що якщо випадковий процес є дискретним у часі x(ti), то його реалізація x*(tiM/) є скінченною послідовністю випадкових чисел xi, i = 1,N, зафіксованих на відрізку часу [tn,tк], що можна віддзеркалити у такий спосіб:
/
Однією з основних характеристик випадкової величини X є її функція розподілу F(x), яка задає ймовірність P(X ≤ x) отримання випадковою ве- личиною X конкретного значення, не більшого від значення x, тобто
/
Похідна / від функції розподілу F(x) безперервної випадкової величини X
задає густину f(x) ймовірностей значень цієї величини, тобто
/
У класі стаціонарних випадкових процесів X(t) виділяють підклас ергодичних, для яких усереднення на множині значень x дає той же результат, що й усереднення в часі t.
Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів
Нехай Х (t) - стаціонарний випадковий процес на відрізку часу [0, T] з характеристиками
M [X (t)] = 0, K (t, t ') = M [X (t) X (t')] = k (τ),
τ = t '- t, (t, t') € T × T.
Ергодична властивість стаціонарного випадкового процесу полягає в тому, що за досить тривалої реалізації процесу можна судити про його математичне сподівання, дисперсії, кореляційної функції.
Більш строго стаціонарний випадковий процес Х (t) будемо називати ергодичним з математичного очікуванню, якщо
Lim M {| (1 / T) ∫ X (t) dt | 2} = 0
Завдання 2.
В загальному вигляді си...
